多面體的等分割與翻轉

陳家欣   陳冠良

1. 摘要

    日常生活常見的幾何形狀大多和多面體有絕對的關係。設計時，必須要先了解多面體的基本型態，然後再觀察其中的變化。 本組所研究的主要是如何瞭解多面體的基本型態和一些相關的應用。

2. 前言

在生活中，我們所接觸的環境都是一個3D的空間，裡面包含了許多正多面體所組成的物體。本次專題所要探討的便是這些正多面體的基本型態以及它的樣式。

3. 內容

1.理論說明

1-1正多面體

若一多面體之各個面是全等的正多邊形且其各個多面角也是全等的多面角，則稱此多面體為正多面體。

正多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體以及正二十面體。此五種正多面體又稱為柏拉圖多面體(Platonic Bodies)。

其展開圖分別為：

1-2共軛多面體(Conjugate polyhedron ):

共軛多面體亦稱為對偶多面體。如果兩個多面體的稜數相等，並且其中一個多面體的頂點數和面數等於另一個多面體的面數和頂點數，則稱此兩個多面體為共軛多面體。

→正四面體的共軛正多面體是以它的四個面的中心為點頂的正四面體。

→正六面體的共軛正多面體是以它的六個面的中心為頂點的正八面體。

→正十二面體的共軛正多面體是以它的十二個面的中心為頂點的正二十面體。

1-3尤拉公式(Euler Law):

有名的數學家尤拉，在1752年發現各種正多面體間的關係：面數＋頂角數＝邊數＋2。令v＝頂數，e＝邊數，f＝面數，α＝每兩平面的夾角，a＝每邊之長，r＝內切圓球半徑，R＝外接圓半徑，A＝每個面之面積，T＝總面積，V＝體積。

v－e＋f＝2………（1）
(Euler-Descarets公式---準確地適用於任何凸多面積)
T＝fA V＝(1/3) rfA＝(1/3)rT………（2）

相關公式：

1-4基本形體之概述：

任何形體均可以分解為許多形體的組合體，設計者從各類基本形體的取捨或添加而得實際形體，此基本形體一即為「實際形體之母」。印象派畫家賽尚曾經說過一切繪畫均由圓形、正方形或圓形等行變化而得來，反過來說一切繪畫的題材，均可以分析為許多基本形體來處理。這種科學而精闢的見解，一直為畫壇所樂用，平面繪畫的造型既有此般見地，而況立體造型更能適用此原則自無諱言。基本形體是幾何形人為的型體，它的選用因各人見解不一未有標準形體，有的以正方體、球體、圓錐體及方柱體.........等，所以我們其中一些作簡單敘述。

→正方體：
正方體由六個相同的面組合成的形體，各個面均相互垂直，每邊緣線段長度相同，並有顯著的稜角，形成端正最基本的形體，所有一切形體均可由正方形體切割而成。正方體強調垂直與水平的心理效應，具有安定、方正及平實的秩序感。

→三角錐體：
三角錐體由圓柱體或正方柱體分割而成，具三個斜面等腰的三角形，與一個正三角形為底面所組合的。三角錐體高度可以有高低，但三個斜面與三個邊緣線均應相等。有尖銳的頂端，稜角顯著，被莊嚴獨立的特徵與三角錐體性質相同的有四角錐體、五角錐體、六角錐體及多角錐體等。

→方柱體：
方柱體是正方形體的延續，有顯著平行線面與垂直線面，上面與底面皆方形，有四個平行四邊形所組合的形象。方柱體如以對角切分可成雨個或四個等腰三角柱體，如圖中所示的再行分割，可有等腰與不等腰的三角柱體。它也是許多種多面體的基本形體，如八面形體與十六面體等均由正方柱體切割而成。方柱體呈優越的深度感與積量感，是建築造形基本形體。

1-5面體構成：

在形體結構中有實體組合（塊枝體）與面體組合（空心體）兩種。取一片平面薄板如何將其架構成一個形體，期間考慮問題甚多，面體材料通常有厚紙、卡紙、三夾板及塑膠板等類，於造形前先設計圖形，按圖形再取材不拼湊零星材料與避免膠接原則下製成形體。面體造形設計以西卡紙最適用，剪摺製作可隨心所欲，且稜角邊緣與弧度等均易顯出，至於曲面複雜而富變化的形體則不適宜，只有假借油土或陶土材料了。面體組合成形最要緊的是設計圓形必須精確，裁剪摺疊要細心，務使曲直線緣清楚，稜角畢露，造形才能挺直美觀。

1-6面體裝飾：

而形體構成本來每個表面是平面的，有時為避免形體單調需要裝飾趣味，在單位表面可以有適當的切割或穿洞孔，顯現三度空間，或於表面以紙雕做法先畫線，使成凹凸形態增加表面美化。其次，在表面上附加一薄片或小形體，使表面更有突出感，造形宜單純些。面體裝飾在單位邊緣修成弧形成切調稜角，其目的美化面體的組合，宜參酌實際情形勿過於複雜。

1-7面體展開圖：

如有兩個弧形的形體接合成一個形體，或接合更複雜的形體，即非憑想像所能為，必須藉「展開圖示」裁取材料，方可把握形態的正確性。繪製展開圖應具有投影圖法和幾何製圖的知識，需謹慎繪製，否則彼此面體將無法接合。

1-8立方之等分割：

拿刀子把立方體二等分割時，使其體積與形都相同，時能分割出怎樣的形出來?從a開始，然後次第地變化分割之角度時，就能產生無數之形出來。當我們凝視所分割出來之形時，就會得到種種之感覺來。雖然是同一體積，可是外觀上，其大小就會不一樣。其輪廊線較大時，它看起來就有較大之感覺。二等分時，原正方形之某一面沒有被分割時，我們就很容易地連想出母形來。可是，正方形之任何一面，都被刀子切開時，從這被分開之子形，很難連想出原來之立方體來。

1-9等邊構造體的分類

其設計的先決條件是，把構成形態的稜與邊皆規定為「直線」。接著再將等邊長度的形狀所構成的立體狀態中，以其為空心或實心；若其為空心立體，則是否為有開口的立體，或無任何開口（如乒乓球），完全密閉式的立體，如以此法來分類，則等邊構造體大概可區分如下：

→密閉系構造體
密封系構造體，有如石頭般內部完全實心的填充型，也有如乒乓球般，中間為空心的兩種，以其皆屬密閉封系造形之故，外觀形狀大致相同，在形態學上也被一同視之。屬於密閉系的立體造形種類繁多，很難將其詳細的區分，但我們若從對稱的形態或幾何學的立體形態來分，即如下所示：

此表的配列，係從下往上，對稱的種類或數量會越來越多，也會出現高度相同的對稱趨勢。球系的代表等邊構造體，係正多面體，多見於礦物結晶中，如食鹽即屬於此類。

→位相系構造體
如果將細長而密閉的立體的兩端彎曲，使之成為環狀造形，就好像是甜甜圈般，屬於封閉的形態，從另一個角度來看，又好像開放式的立體形態。

→開口系構造體
就像茶杯、瓶子的容器一般，在其某一處具有開口部的形狀（碗狀系），或像管子一般具有兩個開口部，而且它們的孔穴在內部具有互連的形狀（管狀系立體），或是具有更多開口部的多口系立體，皆屬這類構造體。

→展開系構造體
所謂展開系，就是指完全打開的形態而言。而展開系包括折面構造系（屏風系）和平板狀系兩種。屏風系就像屏風一般，表面折曲而接續著的形態。而完全無折痕的形態系列，即是平板狀系，也就說在面與面單位形狀間的境界，使用鉛筆劃出界線，把面的境界區分出來。此形態不是立體，而是平面圖形而已（舖地磚的平面模樣皆屬此形態）。

1-10正多面體的展開

(1) 中心點加工 
為了觀察正多面的對稱關係，我可在其稜的中心點加工。在這裡所呈現的多面體，是在鄰接的稜線中心點，使用直線連接起來，把此線當做境界，而在多面體上加工。中心點加工大約可區分為下列三種。

1. 通過相互鄰接的中心點，以切開其立體………中心點切開加工。 
2. 以互相鄰接的中心點連結線當做境界，使立體向內側凹進………中心點折凹加工。 
3. 把互相鄰接的中心點連結線當做境界，使立體向外側突………中心點折凸加工。

◎中心點切開加工，可以在黏土、木材、石材等材料，從通過相互鄰接的稜中心點予以截斷，把多面體的一角切斷，重新製造多面體的加工方法。

◎中心點折凹加工，我們可用紙材製造一個多面體，對通過一個頂點的各稜的中心點，若用直線予以連結並折成線痕，再於頂點施加壓力，將其擠進立體的內部，則其向外突出的地方會向內部凹進，形成凹部立體，而連結中心點的線，也會成為折痕，成為新造凹面體的稜線。

◎中心點折凸加工，與上述情形恰恰相反，是使用落處更突出的加工法。 對於已有凹部部立體，或針對凹部加工使其突出的情形言，則中心點折凸加工，可說是相當容易。 若是沒有凹部的多面體，以經過中心點切開加工所造成的面為底部，在其上面貼合多面體。

(2) 對角線上切加工 
中心點切開加工係把相鄰邊中心點用直線連結起來，而以平面切開的方法。所以，若把構成正多面體表面，沿著正多角形的對角線將之切開，將產生另一個多面體。正三角形因無角線，所以能用正多角形的對角線切開的正面體，只有正十二面體和立方體兩種。這些立體，若施以對角線切開加工時，就如圖所示，從正十二面體變成正六面體，又可從正六面體變為正四面體。

若將中心點切開加工及對角線上切開加工合併起來，來觀察正多面體的變化及相互關係，那麼，我們將能得到透徹的了解。

碳六十巴克球（C60 Buckyball）

所謂的碳六十巴克球（C60 Buckyball）是指由含有六十個碳原子所組成的球狀分子。由於碳六十分子穩定又呈圓球形，在經施壓後，其硬度比最硬的鑽石還高。是繼石墨、鑽石之後，第三種以純碳形式存在的球狀固體。1996年諾貝爾化學獎由首先製造出碳六十分子，並決定出正確結構的三人（美國Rice大學的Smalley及Curl兩位教授，暨英國Sussex大學的Kroto教授）所獲得。其外形像個足球，這種分子被命名為巴克球（Buckball），它的結構就是那切角正二十面體結構。

所謂正多面體是指多面體的各個面均呈全等正多邊形、每個正多面體的各邊的長和頂角的交角均相等。常見正多面體有：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，現配合切角正二十面體，一併介紹；數學家尤拉(Euler)，在1752年發現各種正多面體均有的關係：面數＋頂角數＝邊數＋２。

製作方法

(1)材料：
如「西卡紙」之類的厚紙板、雙面膠、圓規（利用其針尖戳洞）、剪刀（或美工刀）、鉛筆（或原子筆）
(2)步驟：
1.將「各種平面展開圖」（可先影印放大）覆蓋於西卡紙上。
2.以圓規針尖將「展開圖」各頂點戳刺複製在西卡紙上。
3.用鉛筆將西卡紙上的各點連起來（即將「平面展開圖」畫出來）。
4.將「平面展開圖」用美工刀或剪刀裁剪下來。
5.用刀背在各摺線位置畫上一刀，可使摺紙的動作好作些。
6.將各舌邊內摺之後貼上適當寬度的雙面膠，逐一將各多面體黏合起來。

※圖片欣賞

4.結論

基本上來說，在這次製作正多面體的專題中，我們深深體會到一個日常生活中，平凡不起眼的多面體，它都能經由正多面體而變化出其它不同的多面體，或者是經由翻轉或切割而變成另一種形狀，例如：一個正四面體經由切割後能變成一個立體星的形狀等等。

5.心得

好不容易到了五年級，經過了一次製作專題的經驗之後，我們發覺在以往覺得好像很難的東西，原來經過努力製作後也是能夠達成的。想當初剛開始接觸第一次專題製作--【七巧板】的時候，總覺得這東西好像很難，經過了一些找尋、整理、討論的工作後，在最後的結果，雖不盡理想但也還能勉強接受，也熟悉了製作專題的一些事項。所以這一次的專題製作，感覺上似乎比上次順手了一些，並沒有太大的問題發生，但也許是課業和明年五月的考試的緣故，讓大家變得更忙，討論的時間似乎減少了一點，所以在與老師溝通方面並不如上次頻繁，還望老師見諒，最後也謝謝班上的同學和老師的建議，讓我們的專題能夠順利的完成。

6. 參考資料

※參考網址：
1. http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/uniform
/index_vrml.html
2. http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly
3. http://www.math.scu.edu.tw/teacher/Fuzhichi/polytope.htm
4. http://poncelet.math.nthu.edu.tw/summer99/13/多面體.htm
5. http://w3.info.uvt.ro/~dumitras/polyhedron.html
6. http://www.math.ntnu.edu.tw/~jnh/math/geometry
/reguler_polyhedron
7. http://www.rthk.org.hk/rthk/tvsche/ele.htm
8. http://www.math.scu.edu.tw/teacher/Fuzhichi/polytope.htm
9. http://www.lyjh.kh.edu.tw/sch4-3-1.htm
10. http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk5/enc/regular-polyt.html

※參考書籍：

※本次專題非常感謝以上各網站和出版社提供相關資料

7. 自我介紹

姓名：陳冠良
綽號：罐頭
生日：70.5.21
星座：金牛座
個性：樂觀 開朗
興趣：上網 看電視 散步
經歷：兩任總務股長
最喜歡的食物：只要好吃就可以了
最想完成的事：考上理想二技

姓名：陳家欣
綽號：ㄚ欣
生日：70.7.11
星座：巨蟹座
個性：內向 害羞
興趣：上網 看電視 玩電腦 打球 看小說
經歷：副班長、服務股長
最想完成的事：考上理想二技

8. 使用軟體

1.Microsoft Windows 2000 Professional 中文版
2.IE 5.5 SP1中文版
3.AutoCAD 2000中文版
4.PhotoImpac 5.0中文版
5.Microsoft Office 2000 Premium SR-1中文版
6.Winzip 8.0中文版