九 連
環
技機三甲 吳靜宜
細 說 九 連 環：
九連環源於古代民間，大約在明代已經普及了，到了清代，更是廣為流傳。在眾多益智玩具中，九連環是具有相當高的知名度，若是你同別人說到你喜歡玩
puzzle，大概都會被問到會不會玩九連環，八九不離十。
九連環有一根長桿和一堆錯綜複雜的環及連接各環之間的短桿。如果把二者的角色（或稱為狀態）對調，把長桿換成是繩子，其餘的改成是許多固定在板子上的環，那麼這二者的解法（或稱為思考的路線）可以說是相同的。所以說若是會玩就應該是二個都要會才合理，但是事實上卻不然，而且有相當的落差。
在巧環類的 Puzzle 中有一些是相當不錯的，像是「貴妃秤」就用到了三個觀念，算是相當難的。另外，「歧中易」也很不錯。
不是有一句民間的俗語說：『先解九連環，再解歧中易』。
九連環被芬蘭視為國寶：
目前有很多玩具，均是由傳統玩具加以延伸而成的，教育類玩具更為明顯。例如，早期的棋奕類、七巧版、九連環演變到現代，可能增加更多新的玩法、給予新的遊戲規則，甚至添入各類材質的運用，以及精美亮麗的包裝。
以九連環為例，早先只是簡單的解套玩法，而現今則變成「自我挑戰」或殺時間的玩具了；而在北歐的芬蘭，九連環已被捧為國寶，並成為家庭中不分老幼的玩具。雖然現代科技豐富了產品，但傳統智慧的原創涵意依然不變。
簡 介：
九連環歷史非常悠久，據說發明于戰國時代。它是人類所發明的最奧妙的玩具之一。宋朝 以后，九連環開始廣為流傳。在明清時期，上至士大夫，下至販夫走卒，大家都很喜歡它。
很多著名文學作品都提到過九連環，《紅樓夢》中就有林黛玉巧解九連環的記載。在國外，數學家 凱爾達諾在西元 1550 年已經提到了九連環。後來，數學家華利斯對九連環做了精辟的分析。格羅斯也深入研究了九連環，用二進制數給了它一個十分完美的答案。
九連環主要由九個圓環及框架組成。每一個圓環上都連有一個直杆，各直杆在後一個圓環內穿過，九個直杆的另一端用板或圓環相對固定住。圓環在框架上可以解下或套上。
九連環的玩法比較複雜，無論解下還是套上，都要遵循一定的規則。 19 世紀的格羅斯經過運算，證明共需要三百四十一步，到目前為止還沒有其它更為便捷的答案。 1975 年國外出了一本關於離散數學的書，其中收錄了這樣一個數列： 1,2,5,10,21,42,85,170,341 …… 這就是“九連環”的數列。實際上，解下或套上 n 連環所需步數可用中心匹配的公式算出：
(n)
= [2^(n+1) - 0.5*(-1)^n -1.5]/3
中國的九連環遊戲是非常巧妙的。它的構造如圖一，其中有九個圓環，可用較粗的鉛絲製成。每一環上連一較細的鉛絲直杆，各杆都在後一個環內穿過，插在白鐵皮上的一排小孔裏。杆的下端都彎一小圈，使它們能在小孔裏上下移動，但不會脫出。另外用粗鉛絲做一個雙股的釵，股端絞在一起。
玩的目的是要把九個環都套到釵上，形成如圖二的形狀；再從釵上把九個環都脫下來。這樣套上或脫下，說來容易，做起來卻很繁難，每種都要經過幾百次手續才成。
這是中國古代的一種益智遊戲，在一個Ｕ形的鐵棒上套著九個圓環，要將九個圓環從鐵棒中解出。
解法：
要明瞭九連環的玩法，必先知道兩種基本動作：
一、套環到釵上去的基本動作，是把環從下向上，通過釵心，如圖三(a)的虛線所示，套在釵頭上成(b)的形狀。這一個動作除第 1 環（如圖一從左邊起）隨時可行外，其除的環因為有別的環連住，都無法套上。
但如果前面（即如圖一的左邊）有一個鄰接的環已經套在釵上，且所有前面的環僅有這個在釵上時，那未如圖四的(a)，祇要把這一個環暫時移到釵頭前面，讓出釵頭來，後一個環就可依虛線所示套上去，再把前一環恢復原位，成(b)的形狀。這動作叫做「上環」。
二、環從釵上脫下的基本動作，只要照上法還原，即把環從釵頭脫下，再從上方通過釵心脫下去。這一個動作在第 1 環也是隨時可行，其餘的必須在前面有一個鄰接的環在釵上，且前面除這一環外已無別的環在釵上時，就可以把這鄰接的環移前一些，讓出釵頭，把後一環脫下，再就前一環恢復原位。這動作叫做「下環」。
我們知道了這兩種基本動作，如果要單上第 1 環，只需一步手續就成（移動一個環作一步手續算）；要連上第 1、2 兩環，可先上第 1 環，次上第 2 環，共需兩步手續；要連上第 1、2、3 環，必須先上好第 1、2 兩環，再下第 1 環，然後才能上第 3 環，又上第 1 環，共五步。如果要連上第 1、2、3、4 四環，手續就繁了。我們先照前法連上前面的三環，再下開首的兩環，然後才能上第 4 環，最後又上開首的兩環，共十步。照這樣，可繼續推得連上五環、六環或更多環的方法。
如果要把九個連環從釵上全部套上或全部脫下，要經過 341 步手續。假如以每分鐘完成六十步的速度計算，亦需要約六分鐘的時間才能做好此工作。
計算：
要計算上環手續的步數和環數的關係，就先要瞭解不同環數之間的關係。我們先考察上文所舉連上四環的十步手續，知道開首的五步就是上三環的手續，接下去的兩步和連上兩環的次序相反，實際就是連下兩環的手續，後面一步是上第 4 環，最後兩步是連上兩環的手續。再考察其他環數，也有類似的步驟。從此推到一般，知道要連上 n 環，必先連上 n - 1 環，再連下 n - 2 環，接著上第 n 環，最後連上 n - 2 環。
設以 T1、T2、T3、……Tn- 1、Tn 表單上一環、連上兩環、連上三環、……連上 n - 1 環、連上 n 環的手續步數，那未單下一環、連下兩環、以至連下n環的手續步數當然也是一樣，根據前面推得的一般情形，可得公式如下：
Tn = Tn-
1 + Tn- 2 + 1 + Tn- 2 = Tn- 1
+ 2 Tn- 2 + 1
有了這一個公式，就可用
T1 和 T2
做基礎，由此求得 T3，再由
T2、T3
求 T4，由
T3、T4
求 T5 ，由
T4、T5
求T6，以至無窮。現在從已知的
T1 = 1，T2 = 2
求其餘各數如下：
T3
= T2 + 2T1 + 1 = 2 + 2 ´ 1 + 1 = 5
T4 = T3 + 2T2 + 1 = 5 + 2 ´ 2 + 1 = 10
T5 = T4 + 2T3 + 1 = 10 + 2 ´ 5 + 1 = 21
T6 = T5 + 2T4 + 1 = 21 + 2 ´ 10 + 1 = 42
T7 = T6 + 2T5 + 1 = 42 + 2 ´ 21 + 1 = 85
T8 = T7 + 2T6 + 1 = 85 + 2 ´ 42 + 1 = 170
T9 = T8 + 2T7 + 1 = 170 + 2 ´ 85 + 1 = 341
考察上列各算式，知道 Tn 的偶數時，Tn 恰為 Tn- 1 的 2 倍；n 是奇數時，Tn 比 Tn- 1 的 2 倍多 1，所以求 Tn 還有較前更簡單的方法。列成公式，得
當 n
是偶數時，Tn = 2 Tn- 1；
當 n 是奇數時，Tn = 2 Tn- 1 + 1；
這兩個公式的代數證明可用數學歸納法獲得，但這裏從略。
結合上面兩式，可得到更簡便的結果：
當 n
是偶數時，Tn = 4 Tn- 2 + 2 = (2n+1
- 2) / 3；
當 n 是奇數時，Tn = 4 Tn- 2 + 1 = (2n+1
- 1) / 3。
用這兩個公式來繼續求 T10、T11、T12、……非常便捷。我們求到 T30 ，即有 30 個環時，得全部套上式全部脫下的手續的步數是 715 827 882；如果仍照上文的假定，每分鐘能完成 60 步手續，那麼即使每天玩上 8 小時，也須 68 年左右才能把全部環套上或脫下，但這已經任何人所辦不到的事了！
其它類似環套：
自製九連環：
想要自己動手操作其實不難，因為某些書局就有販售這種遊戲，但是若有興趣的話，不妨自己動手做一個九連環，要解開一個「九連環」，所花的時間比較長，故此，現在祇介紹「五連環」的製作方法。可以用類似方法，製作出「九連環」來。
材料：3/4 吋銅圈 6 個
3 吋鐵線 5 條
15 吋鐵線 1 條
工具：尖咀鉗 1 把
間尺 1 把
心得：
我會選者這個題目是因為我覺得很有趣，很有挑戰性，有些人玩九連環只是一連串的「機械化反應」，並沒有體會出它的智慧，很可惜。
你也許有聽過解九連環有什麼進幾退幾的口訣或某某人多快就能解出，不太能贊同這種說法。玩這個若是靠口訣，我會認為一點意思都沒有；再說它的解法是單行道，比速度就太無趣了。 所以我想藉著這個機會好好深入了解九連環，體會一下古人的智慧。
九連環的"破解法"和數學可是有頗大的淵源!早在西元1550年,就有好幾個外國的科學家,常試用數學的方法來解釋九連環;到了十九世紀,更有人用二進位ㄉ符號,寫出九連環的步驟來.在蘇俄莫斯科每年舉行的數學競試中,還曾以九連環為例子,出過題目呢!最神奇的是,研究幾世紀的結果,竟與易經上的"八卦"相符合!所以呀~~"九連環"不只是好玩打發時間的東西而已,他也是一份中國人的驕傲啊!!
九連環是中國傳統的有代表性的智力玩具，凝結著中國傳統文化，具有極強的趣味性。九連環能既練腦又練手，對於開發人的邏輯思維能力及活動手指筋骨大有好處。同時它還可以培養學習工作的專注精神和耐心，實為老少咸宜。
九連環的确環環相扣，趣味無窮。在第一次玩時，需要分析與綜合相結合，不斷進行思考 和推理。複雜的玩法需要耐心和在困難面前不躁急的作風，切不可心浮氣躁，使用暴力。玩九連環的次數多了，就會越來越熟練，也會對玩法有更加深刻的理解，能更好地体會其中的內在 思想。九連環的各種玩法很多，但都是思維方法的不同，其過程是一樣的。如果透過自己獨立 思考解開九連環，就會形成一套最适合自己的思維方法。
我們應該為弘揚傳統文化做出貢獻，讓九連環永遠流傳。希望更多的人知道和喜歡九連環，能玩好它並體會到其中的內在思想。
參考書目：
數學趣味問題競試集 徐氏基金會 出版 吳英格 譯,
趣味的數和圖 許純舫編 商務印書館
資訊傳真雜誌 第93期 王文源著
http://jckleung.ccss.edu.hk/ninering/ninering.html 九 連 環
http://a350.tysh.tyc.edu.tw/~t318/math/index.htm 數學小品
http://home.kimo.com.tw/bill-chao/index.html
http://www.ccss.edu.hk/jckleung/ninering/ninering.html Fun of Mathematics