魔方陣及數字轉盤與幾何圖形的剪開 旋轉 割補
S8802132葉文濱、S8802136吳繼富
T8902238鄭勝文、S8802150簡旭青
1.摘要
數的對稱相等概念乍看之下頗難求出，但若洞見其規則，則輕易的便可被求解。所以此類問題只要求得一定規則的公式問題就迎刃而解了。幾何圖形的求解，不但要靈活、敏捷，而且要運用巧妙的配置，諸如剪開、割補旋轉，及如何剪開再重新列置成一定形狀等等，皆是巧算的獨特求異思維。而要獲致此一解答，則有賴於分析、歸納與總結。因此以另類不同思維方式來求解，與用傳統方式來求解，相比較之下，則有巧妙、新穎的特點而更令人拍案叫絕了。
2.前言
智慧幾何在古代即已被廣泛的討論，也因為有很多先知在探討這一領域，所以使近代幾何學被廣泛應用到日生活中，豐富人們的生活、增添樂趣。由於智慧幾何具有啟發人們求異思維的獨特巧妙與新穎，因此往往有新求解方式被發現，會使人有一種超越自我的愉快享受。只要能求解得出，就會有憑添自信，自我肯定的滿足。
因此學習智慧幾何不僅能使人鍛鍊腦筋，變得更便捷、靈活，且能使人跳脫一般人的思考模式，進入另一思維的領域，使人的思考角度、廣度增加，從而不再被舊有觀念限制在舊有的範疇內。所以目前流於市面的益智玩具不斷的增加，其質的巧妙境界不斷在提升，方方面面都印證智慧幾何不但應用到老租先的智慧，也不斷的再創新及求變。
在整個智慧幾何設計中，必須以思維的敏捷性和靈活性對每一類問題加以分析，歸納、總結並整理出頭緒，才能得到最優美、最巧妙及最完整的解法，個人也因而獲得愉快的享受，滿足自我的肯定。因此從數的對稱相等概念---魔方陣。到幾何的割補技巧，剪開重新列置的方式，在在都是富饒趣味而實用的鍛鍊腦筋、增進思考的廣度與深度方式，也是體驗另類巧算的法則。
三.
內容:
相傳在四千多年前，夏禹治水時，在洛水岸邊發現一龜，背上有奇特
的圖紋如右圖，後來就叫做洛書。
上右圖用數字填在九個空格內，每行、每列及兩個對角線上的數字一樣，非常奇妙，所以叫做魔方陣或幻方。在中圖算書串記載有洛書的排法口訣：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，載九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。
3階魔方陣
金庸武俠小說射雕英雄傳第二十九回有一段文章關於魔方陣的:
九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左七右三戴九履一，
|
4 |
9 |
2 |
|
3 |
5 |
7 |
|
8 |
1 |
6 |
各行各列，兩對角線個數之和是15
N階魔方陣：各行各列，兩對角線個數之和是
由以上公式我們可以試著畫出3階；4階；5階；9階魔方陣
|
X |
X |
X |
X |
|
X |
X |
X |
X |
|
X |
X |
X |
X |
|
X |
X |
X |
X |
觀查以下各圖，我們可領略出其中的奧妙
此為3階的另一種排列方式，左邊先照順序排列，空格中為上下左右交換
2數字轉盤 (No. Crunch)
可以先考慮怎樣將5移到最前面(其它數的順序不變)，即將1，2，…，20變為5，1，2，3，4，６，7，…，20？
用箭頭表示一次顛倒順序，稱為一步，通過嘗試，不難得出：
12345→15432→34512→32154→51234
總結一下：每一個數(例如5)，可以通過4次顛倒，向前移4位。這4步，我們簡記４→。
採用這種方法，將6向前移四位，再移四位，…，這樣移六次(共24步)，在方塊數為20時，如圖二，最後的次序變成6，1，2，…，20
同樣地，對18個方塊，採用上面的方法將6前移四位，移14次(共56步)後，方塊的次序就變成6，1，2，…，18。
對排成
：
1，2，…，19
(1)
的19個方塊，情況與上面迥然不同，無論多少步，也不能使它的順序變成：
6，1，2，…，19
(2)
為了說明這一點，我們注意：在(2)中，6越過了五個數：1，2，3，4，5。即6與這五個數的次序顛倒了，稱為5個逆序。而在(1)中，沒有逆序，即逆序個數是0。
由於在圓周上，最後一個數也可以作為第一個數，例如(2)也就是 ：
19，6，1，2，…，18
(3)
19寫在前面，產生18個逆序，所以(3)有23個逆序。但(2)、(3)的逆序數都是奇數，即使將18，或者17、16等也寫在前面，標出來的逆序數仍然是奇數。而(1)的逆序數總是偶數，不論19(或18、19或17、18、19等)是否寫在前面。
每顛倒四個數的順序一次，逆序數的奇偶性不變，因為4，3，2，1
中逆序數是3+2+1=6，是一個偶數。所以，無論經過多少步，(1)中逆序數始終是偶數，而(2)的逆序數是奇數，(1)不會變成(2)。
(二)旋轉變換：
利用旋轉的技巧，再多點想像力就可解決很多日常生活遇見到的幾何難題。有些幾何圖形問題條件分散，如果能設法把圖形繞一個定點在平面內旋轉一個定角，使圖形的某部份移到一個新的位置，往往能使分散的條件集中，問題化難為易的被解。
則陰影部份可看出為一三角形,這就簡單可解了(□=1/2˙DL）
（三）剪開旋轉：
有些幾何圖形互相交錯,要計算其面積,難度亦不低，然而我們可應用智慧幾何設計中的剪開旋轉原理則便可豁然開朗,茅塞頓開，如下圖（三）。
(四).割補的方法：
即是把圖形中某部份填補到新的位置,使得新圖形更便於計算。明確的說：就是把一個平面圖形從一處移到另一處時,它的面積不變，新組合起來的圖形面積等於分散時各圖形的面積和。
乍看之下,不知如何下手,但仔細研究就能發現,根據軸的對稱性,由A圖通過圓心與BC圓交點處作直經,可發現多出3.4之扇形,再將１翻析到圖2,並將3.4填補到5,就可發現,原來斜線部份為一半圓這就容易解了。
(五).剪的技巧：
割補術的延伸,以剪切將圖形分割成幾塊,再拼湊成一固定的幾何圖形,其變化萬千,可裁剪成固定數量的不同的多邊形,以拼成固定的幾何圖形。
此外應用到剪的技巧加上折疊,也能將智慧幾何設計成非常巧妙,如圖H形為一8個小正方形所組成,限定剪一刀,再重新拼成一大正方形。
心得與結論
對於數的摡念可以運用幾何圖形的規則加以排列而成一定的數,這是另一個發現。
智慧幾何的範圍非常廣泛,而將之分割後重新拼成一圖形,則是變化萬千,饒富趣味且能啟發人思維的一種科學,其產生人生方向與觀感的改變,是其他科目所無法獲得。
從旋轉變換,割補技巧到剪得奇巧,在在都說明只要運用巧思，跳脫出舊有的規範思想,從另一層思考空間著手,必定能創造出另一個意想不到的創新模式,而且解答不只一種,種類繁多、各式各樣都有。沈浸其中不但有趣而益智。
所以學習智慧幾何以後,由於思考方向的多樣使人不再墨守成規,從而腦筋變得靈活有彈性。而其每一解題的方式是繁複的、多變的、有技巧的,因此使得個性變得有耐心,敢於嚐試新的構想,也接納新的技巧,這是最大的收獲。