數字字謎的解謎與字謎產生器的研究
李立中、林順喜
國立臺灣師範大學
資訊教育系
摘要
數字字謎遊戲向來是許多人喜歡作的益智性思考遊戲，可以讓人應用推理性的思考，在解題的過程中得到樂趣，並得到解開謎題的成就感。在過去這些字謎都是由專家構思建構出來的，在本文中我們考慮結合英文單字及數字的字謎。在英文單字中代表數字的單字有許多，如one、two、three、twenty、thirty、hundred、thousand、million甚至到billion等32個單字，在本文中，我們將先試著解一個字謎，並嚐試著利用電腦把這些單字作排列組合，使其不只在英文意義上符合其數字之值，而各字母以不同的數字代入也能產生合理的運算式，並且利用電腦來驗證產生的字謎是否有解。除此之外，這個程式也可以用來解其它的字謎。如此一來，我們也可以由程式產生各式各樣不同的字謎，可以供人作思考解謎之用。程式執行出來的結果，已經找到了四層以下的所有有解的字謎，至於五層以上，由於複雜度太高且實用性較低，人腦要解已難以負荷，所以便不再繼續窮舉，但是我們的程式仍可產生及求解。
緒論
字謎的介紹：
字謎的花樣是千奇百怪，例如一個英文句子「Give me money.」我們就可以把它化成為「GIVE ×ME = MONEY」這道式子。這樣的謎語有趣的地方在於，我們不是隨便解一道式子，如此和平常解x、y、z的代數式子豈不是沒有差別，這樣的式子，除了在字面上有他的意義，而用數字代入之後，又有他另一層的意義（數學上的意義）。這是字謎有意思的地方，人會想要找到他另一層的意義。再者，這樣的字謎，解答通常不只一組，又因為光是一道式子所給的資訊並不完全的，所以解法更是依各人不同，當然，解出來的答案也會不一樣，這樣可以考驗及磨練自己的思考推理能力，看看自己是不是能夠從有限的線索裡找出答案。
相信大家或許有見過這樣的字謎，以每個英文單字為一行，排成直式的加法，如下面這運算式：
FIVE
＋FOUR
───
NINE
而若是把式子中的各個英文字母以不同的數字代入的話，那麼這個式子也會變成一個有意義的算式，如下面的式子：
以F = 1, I = 2, V = 5, E = 4, O = 9, U = 8, R = 0, N = 3 代入
1254
＋1980
───
3234
當然這只是其中的一組解，其它還會有許多組可能的數字代入會使得這式子還是既符合英文字面上的意義（FOUR ＋ FIVE = NINE => 4 + 5 = 9），也符合代入數字後的運算式（1254 ＋ 1980 = 3234）。另外，雖然在上例中若是把F=0代入其中，也許可以找到另一組解，但是這種第一位數為0的，我們也把它排除在外，以免猜字謎時產生困擾。而本文中所介紹的首先便是找出所有在英文意義上能符合的組合，接下來便是利用電腦來驗證看看是否這些組合都至少有一組數字能夠代入後仍然得到一個正確的式子。
當然若是 FIVE + FOUR = THREE 也可能可以找到一組數字代入使得數字算式是正確的，然而，在英文上的意義 5 + 4 = 3 顯然是不合理的，這種的組合，我們目前不列入考慮。在過去這些字謎大都由專家（稱為出題者）以人腦構思建立出來。在本文中我們設法讓電腦來達成這樣的任務。
而在驗證字謎是否有解的演算方法，便是電腦解字謎的方法。因此，利用這種演算方法，即使是任何字句中的單字組合成的一組式子，也能馬上求出這種組合是不是也有一組合理的數字解。
人解字謎和電腦解字謎的差別：
人在解這種字謎的時候，相信有學過基本代數的人首先都會想到試著利用代數來列出各個字母間的關係，當然，如果只就單純的各位數字間的算數關係。如前例FIVE + FOUR = NINE中，我們可以找出2F=N（在沒有進位的情況） 或 2F + 右邊的進位 =N（進位的情況），其它幾位的數字大概也可以用這些情況來討論，列出了這些關係以後，再代入一些數字到各個字母裡去，這樣子在代入數字的時候便能較快的判斷自己猜測的數字是不是正確的。
或者更多人反正是為了好玩而猜字，就會嚐試著直接將數字代入到式子中，這樣子就是用嚐試錯誤的方法，其實道理和前面的方法一樣，只不過他是直接代入來測試合不合理，而不是利用關係式求解。然而這種方法，可能會多帶入一些不適合的解而不自知，較沒有效率。
而電腦在解這些字謎的時候，大致上就是以嚐試錯誤的方法，從0開始代入，全都帶入之後，便計算看看合不合理，如此重複下去，便能找到解，當然，同樣的事情，電腦作起來只要短短的幾秒就可以完成了，不過，人會在解謎中得到樂趣和成就感，這是電腦所沒有的吧！
在下文中我們將會試著用一些方法來解一個字謎。讀者可以參考看看，也許會有更好更快的解法來解謎。也可以比較一下，人腦和電腦解謎方法上的不同。
動動腦筋來解題
我們來試試看「SEND ＋ MORE = MONEY」。
首先我們不打算以列出所有關係式的方法，因為關係式並不好列，再加上考慮進位的問題，那列出來的方程組太多了，反而容易混淆我們。另一方面，這種字謎可能會有多組解答，所以我們考慮到這些方程組並沒有提供完整的資訊，而且因為有多組解答，因此我們如果能夠先假設其中一些字母的數字，也許就能推出一組合理的答案。
我們打算以代入數字的方法，但是要從哪一個字開始代呢？我們先來統計一下這道式子的字母吧。
|
字母 |
S |
E |
N |
D |
M |
O |
R |
Y |
|
出現次數 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
從這個表格看來，「E」出現的次數最多，所以我們要是先由「E」開始代入我們假設的數字的話，那麼，剩下的未知字母就會最少。但是，我們再看看他們的排列位置：
SEND
＋MORE
───
MONEY
我們發現這三個「E」在位置上分別在不同行，如此一來，我們並沒有辦法因為代入「E」之後，而能利用這些假設的數字得到其它的字母可能會是什麼數字。接下來我們有二種選擇，一是繼續代入其它數字到其它出現次數較多的字母，另一就是我們改用別的方法。
我們試著代入「N」、「M」、「O」等出現過二次的字母，當我們試著第二個要以「M」代入數字的時候我們想到了可以利用另一條規則。因此我們決定改走另一條路。
因為式子的每一行的第一個字母不應該為0，所以我們知道「S」和「M」都應該是大於0的數字。接下來我們知道二個一位數字相加最大是18，又因為每個字母要求是不一樣的數字，因此我們知道「S ＋ M」最多等於17，這時候「M」的答案已經出現了，「M」就只有可能是1。既然「M = 1」，又由式子裡「S ＋ M 」（也就是 S ＋ 1 ）必須有進位，才能符合「MONEY」的「M」也會等於1，所以「S」就一定是8或是9（但是其實應該是9，原因再下面一段），然而同時我們就可以知道，「O」必定會是0。如下：
9END
＋10RE
───
10NEY
M = 1、S = 9、O = 0
解出了這幾個字母的數字之後，我們再回到之前出現次數最多的「E」代入其它沒用過的數字，此時，未知的字母減少了，剩下的數字也減少了，而我們的線索則更多了。
看到上面的式子，我們發現「E ＋ 0 = N」，還記得二個字母的數字不會相同嗎？還記得二個一位數字加起來最多進位只會是1嗎？所以我們知道「N = E + 0 + 1（進位的1）」。（這也就是為什麼，「S」一定是9，因為「E ＋ O = N」不會再有進位，所以「S」一定要是9）有了這條線索，我們還可以知道，「N + R = 1E 」或「N + R + 1 = 1E」。
再看剩下2到8的數字中，嚐試用連續的二個數字放入「E」和「N」中，答案已經呼之欲出了。例如以「E = 2」和「N = 3」代入，則我們會發現「R = 9」，顯然不對，因為9已經用過了。這時我們又找到一條線索，就是既然「E + 0 + 1 = N」，又「R」不是9，所以我們只能接受「N + R + 1 = 1E」這條路。如此一來，「R = 8」就肯定了。
9END
＋108E
───
10NEY
M = 1、S = 9、O = 0、R = 8
剩下的字母間並沒有什麼特別的關聯性了，所以我們可以把「E」和「N」以連續的二個數字（現在只能在2 到7中尋找了）代入，剩下的數字中再找個給「D」，最後再看看「Y」所得的數字是不是沒有出現過的數字就行了。當然，我們要記得「D + E = 1Y」（因為必須要有進位才能符合「N + 8 + 1 = E」）
既然如此，我們試著讓「D」則由7開始，如此一來，顯然「E」和「N」必須是5和6，所得到的「Y」會是2，才符合了我們進位和不重覆數字的要求。如下：
9567
＋1085
───
10652
S = 9、E = 5、N = 6、D = 7、M = 1、O = 0、R = 8、Y = 2
這是我們嚐試著以「SEND + MORE = MONEY」為例來解謎，我們可以發現，有些時候一開始的直覺不一定正確（例如一開始我們嚐試用關係式來解代數、或是一開始想由出現最多次的「E」開始解起之類的直覺），不妨由其它方向試著來解決問題。
「GIVE + MORE = MONEY」是另一個類似的字謎也是很有趣，解法雖然和上面的例子相似，但是其中也會因為字母不一樣而有不一樣的地方，讀者不妨試試。
電腦解題之演算法
字謎的種類當然是各式各樣的、無所不有。例如上文中的例子SEND ＋ MORE = MONEY，是以一個有意義的英文句子組成的。有字面上的意義，並且能夠把字母代入數字，讓他有另一層意義，這是字謎有趣也是它吸引人的地方。但是有意義的句子非常的多，所以我們先從其中的一個子集開始作起，這也是下文所將討論的，以英文數字為範圍，來產生有意義的字謎。
產生數字字謎的演算法：
ONE、TWO、THREE、FOUR、FIVE、SIX、SEVEN、EIGHT、NINE、TEN、ELEVEN、TWELVE、THIRTEEN、FOURTEEN、FIFTEEN、SIXTEEN、SEVENTEEN、EIGHTEEN、NINETEEN、TWENTY、THIRTY、FORTH、FIFTY、SIXTY、SEVENTY、EIGHTY、NINETY、HUNDRED、THOUSAND、MILLION、BILLION 共32個單字。
列出所有英文數字單字，不包含複合單字，共32個，列表如下：
FIVE
＋FOUR
─
─ ─
NINE
此例即為N
= 3
決定要產生N層的字謎。其中N共用到N個單字，形成加法或乘法之數謎。例如：
前(N-1)層分別選出(N-1)個單字作出各種組合。在排列時，第k個英文字代表數大於等於第(k+1)個數。所以有了FIVE + FOUR = NINE的組合，便不會再重複選出 FOUR + FIVE = NINE的組合，因為這兩組其實是一樣的，沒有必要重複的驗證。
依照2. 中選出的單字的對應的數值作運算，看看加起來或乘起來會等於多少，若是這數值正好對應到某一個單字，那麼便找到一組可能的組合。（例如：FIVE + FOUR = NINE）若是找不到對應的單字，那麼這組便不是我們要的。（例如：THREE x SEVEN = TWENTY-ONE，TWENTY-ONE為複合單字，不在32個單字中，所以放棄這種組合。）
找到3中的組合後，便開始判斷在這種組合裡，是不是小於等於十個英文字母（如FIVE + FOUR = NINE中有F、I、V、E、O、U、R、N等８個），因為大於十個字母，就會有字母必須代入重複的數字，這便不合我們字謎的要求。
在排除了4中不合理的組合之後，仍可以經由單字的長度來判斷這些組合是否有可能。例如：4位數加4位數得到的和也必定是4位數或者是5位數。所以若是和的單字長度太長太短都不對。而像3位數乘以3位數，所得的積必定是5位或6位數字。（因為其乘積必大於100x100=10000，而小於1000x1000=1000000）相同的，3位數乘以4位數再乘以3位數的積則可能是8位、9位、10位。（原因類似前面所述）。如此便又可以除去許多不可能的組合。
最後以下一節所述之猜字謎的演算法，來判斷剩下的組合，這樣便可以最快的時間找到有解的組合。
猜字謎的演算法：
以FIVE + FOUR = NINE 為例。
找出這組字謎有幾個字母。（找到F、I、V、E、O、U、R、N等８個）
將數字代入字母。（從0、1、2、…、9，分別代入各個字母）
判斷這個數字是否和其它字母相同，又若是這個字母是第一位，則不能為0。
重複2、3的作法，直至所有加數和被加數的字母（或者所有乘數、被乘數的字母），已經都有代入數字。（如這裡代到F、I、V、E、O、U、R都有值即可。）
將剛才代入的數值從最低位到最高位作運算，運算出來的結果，再看看最後一行的單字，若是這一位的字母已經在上面幾行出現過（如I、E在FOUR、FIVE中出現過），則可以直接比對這個算出來的值是否相同，相同就繼續作下去，不同就表示這組數字不合。若是這一位字母未在上面出現過（如N），再把計算的結果比對看看這數字是否有被用過，如果沒有就直接代入，作為這字母的值。若是有的話，則表示這組數字不合。
找到一組合的就表示這組字謎有解，否則就是無解的字謎。
程式執行結果與分析
本程式使用C++語言寫的，在Turbo
C++或Borland C++ Builder等編譯器下編譯皆可，將這程式在Pentiumn100、32MB
RAM的電腦上試著跑了一遍，經過產生字謎程式部分所產生有可能的字謎，產生的結果如表：（其中最後一層為和或積）
|
|
加法 |
乘法 |
||||
|
層數 |
可能有解組數 |
有解組數 |
執行時間 |
可能有解組數 |
有解組數 |
執行時間 |
|
3 |
69 |
6 |
5分50秒 |
10 |
1 |
4分30秒 |
|
4 |
137 |
36 |
11分25秒 |
3 |
0 |
1分15秒 |
|
5 |
209 |
61 |
17分15秒 |
0 |
0 |
小於1秒 |
其中可能有解的組合的意思是，經過初步簡單的條件，即在前面提到的（甲）產生字謎的演算法中的判斷後，所產生的組合，但是尚未經過實際求解，所以可能會有如FIVE + THREE = EIGHT在產生字謎的演算法中無法判斷其是否無解的組合。經過實際的求解過程，除去這種無解的可能，則是我們真正要的字謎，也就是上表中「有解組數」之值。
至於解出來有解的這些字謎，附在本段的結尾，供大家參考，從表中看出加法要符合條件比較容易，而乘法則是到5、6層連有可能的組合都找不到了，因此只發現了一組乘法數謎有解！話說回來，要猜出乘法的字謎可比加法麻煩多了。而大家也許會發現，不是本來說有加減乘除的，但是怎麼這裡只有作加法和乘法，這是因為加法的順序改變，便可以成為連減的組合（把和當成被減數，其它的則是減數，剩下一個就是差了），而乘法的順序改一改，也是可以成為除法（積作為被除數，乘數或被乘數都可以當除數和商）。
以下就是我們所列出來所有有解的字謎組，讀者可以向自己的思考推理能力挑戰。
乘法：（只有一組）
SIX 965
×
TWO ×
218
──── ────
TWELVE
210370
加法：
三層的組合：共6組
|
(1)
FIVE 1254 ＋FOUR ＋1980 ─── ───
NINE 3234 |
(2)
FOUR 5238 ＋ FOUR ＋ 5238 ──── ───
EIGHT 10476 |
(3)
FOUR 2503 ＋THREE ＋69311 ──── ───
SEVEN 71814 |
(4)
FOUR 1230 ＋ ONE ＋ 256 ─── ───
FIVE 1486 |
(5)
TWO 734 ＋ TWO ＋ 734 ─── ───
FOUR 1468 |
|
(6)
ONE 206 ＋ONE ＋206 ─── ───
TWO 412 |
|
|||
四層的組合：共36組
|
(1)
FIFTY 76749
TWENTY 485149 ＋
TEN ＋ 451 ────────
EIGHTY 562349 |
(2)
FORTY 83457
FORTY 83457 ＋
ZERO ＋ 2143 ────────
EIGHTY 169057 |
(3)
FORTY 96342
THIRTY 410342 ＋
TEN ＋ 458 ────────
EIGHTY 507142 |
(4)
FORTY 37984
FIFTEEN 3238550 +FIFTEEN+3238550 ─────────
SEVENTY 6515084 |
(5)
FORTY 29786
TEN 850 ＋
TEN ＋ 850 ────────
SIXTY 31486 |
|
(6)
FORTY 21346
NINE 5750 ＋
ONE ＋ 150 ────────
FIFTY 27246 |
(7)
FORTY 31206
SIX 958 ＋ FOUR ＋ 3142 ────────
FIFTY 35306 |
(8)
FORTY 12834
FIVE 1650 ＋ FIVE ＋ 1650 ────────
FIFTY 16134 |
(9)
THIRTY 593250
TWENTY 546750 + TWENTY+546750 ─────────
SEVENTY 1686750 |
(10)
TWENTY 185710
TEN 157 ＋
ZERO ＋ 6543 ────────
THIRTY 192410 |
|
(11)
TWENTY 120416
FIVE 8750 ＋
FIVE ＋ 8750 ────────
THIRTY 137916 |
(12)
TWELVE 126406
NINE 5756 ＋
NINE ＋ 5756 ────────
THIRTY 137918 |
(13)
ELEVEN 858682
SEVEN 78682 ＋
TWO ＋ 930 ────────
TWENTY 938294 |
(14)
NINE 3538
EIGHT 85291 ＋ THREE ＋
19488 ──── ────
TWENTY 108317 |
(15)
SEVEN 68782
SEVEN 68782 ＋
SIX ＋ 650 ────────
TWENTY 138214 |
|
(16)
SEVEN 91316
FOUR 4872 ＋
ZERO ＋ 5128 ────────
ELEVEN 101316 |
(17)
SEVEN 82524
THREE 19722 ＋
TWO ＋ 106 ────────
TWELVE 102352 |
(18)
SIX 206
TWO 394 ＋ ONE ＋ 415 ─── ───
NINE 1015 |
(19)
FIVE 3025
FOUR 3496 ＋ZERO ＋1564 ─── ───
NINE 8085 |
(20)
FIVE 5091
THREE 78411 ＋ THREE ＋
78411 ────────
ELEVEN 161913 |
|
(21)
FIVE 1329
THREE 86499 ＋ ZERO ＋ 5940 ────────
EIGHT 93768 |
(22)
FIVE 1036
TWO 495 ＋ TWO ＋ 495 ─── ───
NINE 2026 |
(23)
FIVE 9021
TWO 846 ＋
ONE ＋ 671 ────────
EIGHT 10538 |
(24)
FOUR 1650
FOUR 1650 ＋ ONE ＋ 632 ─── ───
NINE 3932 |
(25)
FOUR 2657
FOUR 2657 ＋ ZERO ＋ 8176 ────────
EIGHT 13490 |
|
(26)
FOUR 1765
THREE 39544 ＋
ONE ＋ 784 ────────
EIGHT 42093 |
(27)
FOUR 8637
TWO 946 ＋
TWO ＋ 946 ────────
EIGHT 10529 |
(28)
FOUR 8925
TWO 739 ＋
ONE ＋ 940 ────────
SEVEN 10604 |
(29)
THREE 32066
THREE 32066 ＋
TWO ＋ 391 ──── ────
EIGHT 64523 |
(30)
THREE 23577
THREE 23577 ＋
ONE ＋ 817 ────────
SEVEN 47971 |
|
(31)
THREE 29600
TWO 254 ＋
TWO ＋ 254 ────────
SEVEN 30108 |
(32)
TWO 108
TWO 108 ＋TWO ＋108 ─── ───
SIX 324 |
(33)
TWO 235
TWO 235 ＋ ONE ＋ 576 ─── ───
FIVE 1046 |
(34)
TWO 172
TWO 172 ＋ZERO ＋3862 ─── ───
FOUR 4206 |
(35)
TWO 207
ONE 764 ＋ ONE ＋ 764 ─── ───
FOUR 1735 |
|
(36)
TWO 145
ONE 586 ＋ ZERO ＋ 9635 ────────
THREE 10366 |
|
|||
五層的組合：共61組
|
(1)
SIXTY 31650 TWELVE
582742
ELEVEN 272429 ＋ SEVEN ＋
32429 ────────
NINETY 919250 |
(2)
SIXTY 45783
NINE 6561
EIGHT 15028 ＋ THREE ＋
82911 ────────
EIGHTY 150283 |
(3)
SIXTY 90763
EIGHT 10286
SIX 907 ＋
SIX ＋ 907 ────────
EIGHTY 102863 |
(4)
SIXTY 56237
SEVEN 51819
SEVEN 51819 ＋
SIX ＋ 562 ────────
EIGHTY 160437 |
(5)
FIFTY 64682
FORTY 69582
ZERO 3759 ＋
ZERO ＋ 3759 ────────
NINETY 141782 |
|
(6)
FIFTY 34351
THIRTY 564051
SEVEN 92827 ＋ THREE ＋
56022 ────────
NINETY 747251 |
(7)
FIFTY 93958
THIRTY 523458
FIVE 9371 ＋
FIVE ＋ 9371 ────────
NINETY 636158 |
(8)
FIFTY 86810
THIRTY 176410
ZERO 3245 ＋
ZERO ＋ 3245 ────────
EIGHTY 269710 |
(9)
FIFTY 76734
TWENTY 301534
ELEVEN 181215 ＋
NINE ＋ 5651 ────────
NINETY 565134 |
(10)
FIFTY 75732
TWENTY 364832
NINE 8584 ＋
ONE ＋ 984 ────────
EIGHTY 450132 |
|
(11)
FIFTY 87840 TWENTY
425940
EIGHT 57134 ＋
TWO ＋ 426 ────────
EIGHTY 571340 |
(12)
FIFTY 30316
TWENTY 172516
FIVE 3042 ＋
FIVE ＋ 3042 ────────
EIGHTY 208916 |
(13)
FIFTY 40439
FOUR 4687
FOUR 4687 ＋
TWO ＋ 326 ────────
SIXTY 50139 |
(14)
FORTY 46823
FORTY 46823
TEN 291 ＋
ZERO ＋ 7986 ────────
NINETY 101923 |
(15)
FORTY 73092
FORTY 73092
FIVE 7654 ＋
FIVE ＋ 7654 ────────
NINETY 161492 |
|
(16)
FORTY 42756
FORTY 42756
ZERO 9172 ＋
ZERO ＋ 9172 ────────
EIGHTY 103856 |
(17)
FORTY 56031
THIRTY 378031
EIGHT 48273 ＋
TWO ＋ 396 ────────
EIGHTY 482731 |
(18)
FORTY 34782
THIRTY 860782
FIVE 3059 ＋
FIVE ＋ 3059 ────────
EIGHTY 901682 |
(19)
FORTY 15946
TWENTY 430846
TWENTY 430846 ＋
TEN ＋ 408 ────────
NINETY 878046 |
(20)
FORTY 23570
TEN 794
ZERO 1953 ＋ ZERO ＋ 1953 ────────
FIFTY 28270 |
|
(21)
FORTY 12390
SIX 856
TWO 972 ＋
TWO ＋ 972 ────────
FIFTY 15190 |
(22)
FORTY 10542
FOUR 1065
FOUR 1065 ＋
TWO ＋ 470 ────────
FIFTY 13142 |
(23)
THIRTY 418943
THIRTY 418943
TWENTY 407543 + TWENTY+
407543 ─────────
HUNDRED 1652972 |
(24)
THIRTY 159018
THIRTY 159018
TWENTY 176418 ＋
TEN ＋ 164 ────────
NINETY 494618 |
(25)
THIRTY 128915
THIRTY 128915
TWELVE 174364 ＋ EIGHT ＋
48021 ────────
EIGHTY 480215 |
|
(26)
TWENTY 109416
TEN 194
ZERO 8953 ＋
ZERO ＋ 8953 ────────
THIRTY 127516 |
(27)
TWENTY 126913
NINE 9596
ONE 896 ＋
ZERO ＋ 7608 ────────
THIRTY 145013 |
(28)
ELEVEN 303538
ELEVEN 303538
FIVE 4953 ＋ THREE ＋
67133 ──── ────
THIRTY 679162 |
(29)
ELEVEN 696563
NINE 3436
NINE 3436 ＋
ONE ＋ 836 ────────
THIRTY 704271 |
(30)
ELEVEN 797275
NINE 5057
FIVE 4027 ＋
FIVE ＋ 4027 ────────
THIRTY 810386 |
|
(31)
ELEVEN 151814
EIGHT 17602
EIGHT 17602 ＋ THREE ＋
20311 ────────
THIRTY 207329 |
(32)
ELEVEN 494046
THREE 73544
THREE 73544 ＋ THREE ＋
73544 ────────
TWENTY 714678 |
(33)
NINE 3239
SEVEN 49793
SEVEN 49793 ＋ SEVEN ＋
49793 ──── ────
THIRTY 152618 |
(34)
EIGHT 64391
EIGHT 64391
EIGHT 64391 ＋
SIX ＋ 842 ────────
THIRTY 194015 |
(35)
EIGHT 68071
EIGHT 68071
TWO 135 ＋
TWO ＋ 135 ────────
TWENTY 136412 |
|
(36)
SEVEN 60902
SEVEN 60902
FIVE 7590 ＋
ONE ＋ 820 ────────
TWENTY 130214 |
(37)
SEVEN 35752
SEVEN 35752
THREE 16855 ＋ THREE ＋
16855 ────────
TWENTY 105214 |
(38)
SIX 124
TWO 308
ONE 879 ＋ZERO ＋5968 ─── ───
NINE 7279 |
(39)
SIX 358
ONE 721
ONE 721 ＋ ONE ＋ 721 ─── ───
NINE 2521 |
(40)
SIX 109
ONE 285
ZERO 7532 ＋ ZERO ＋ 7532 ────────
SEVEN 15458 |
|
(41)
FIVE 1409
THREE 87399
ZERO 2935 ＋ ZERO ＋ 2935 ────────
EIGHT 94678 |
(42)
FIVE 1235
TWO 740
TWO 740 ＋ZERO ＋6580 ─── ───
NINE 9295 |
(43)
FIVE 2601
TWO 358
ONE 841 ＋ ONE ＋ 841 ─── ───
NINE 4641 |
(44)
FIVE 8061
ONE 731
ONE 731 ＋
ONE ＋ 731 ────────
EIGHT 10254 |
(45)
FIVE 2743
ONE 653
ONE 653 ＋ ZERO ＋ 9386 ────────
SEVEN 13435 |
|
(46)
FOUR 1408
FOUR 1408
ONE 453 ＋ZERO ＋2384 ─── ───
NINE 5653 |
(47)
FOUR 2839
FOUR 2839
ZERO 5198 ＋ ZERO ＋ 5198 ────────
EIGHT 16074 |
(48)
FOUR 8769
THREE 45911
THREE 45911 ＋
ONE ＋ 721 ──── ────
ELEVEN 101312 |
(49)
FOUR 1256
TWO 972
TWO 972 ＋ ONE ＋ 230 ─── ───
NINE 3430 |
(50)
THREE 63511
THREE 63511
THREE 63511 ＋
TWO ＋ 684 ────────
ELEVEN 191217 |
|
(51)
THREE 20944
THREE 20944
TWO 217 ＋ ZERO ＋ 3497 ────────
EIGHT 45602 |
(52)
THREE 12644
THREE 12644
ONE 794 ＋ ZERO ＋ 8467 ────────
SEVEN 34549 |
(53)
THREE 29733
TWO 248
TWO 248 ＋
ONE ＋ 863 ──── ────
EIGHT 31092 |
(54)
THREE 16955
TWO 103
TWO 103 ＋ ZERO ＋ 8593 ────────
SEVEN 25754 |
(55)
THREE 29611
TWO 245
ONE 581 ＋
ONE ＋ 581 ────────
SEVEN 31018 |
|
(56)
TWO 102
TWO 102
ONE 235 ＋ONE ＋235 ─── ───
SIX 674 |
(57)
TWO 109
TWO 109
ZERO 2369 ＋ZERO ＋2369 ─── ───
FOUR 4956 |
(58)
TWO 138
ONE 856
ONE 856 ＋ ONE ＋ 856 ─── ───
FIVE 2706 |
(59)
TWO 102
ONE 295
ONE 295 ＋ZERO ＋6542 ─── ───
FOUR 7234 |
(60)
ONE 326
ONE 326
ONE 326 ＋ ONE ＋ 326 ─── ───
FOUR 1304 |
|
(61)
ONE 423
ONE 423
ONE 423 ＋ ZERO ＋ 9364 ────────
THREE 10633 |
|
|||
結論
目前的結論：
目前在五層以下的單純的加乘運算的所有組合已經全部計算過了，總共就只有附表列出來的那些單字的組合，能有合理的數字解法，而單純的減算和除算的單字組合則可以由加乘運算得到（這之間是1對1而且映成的對應，所以作完加乘運算的組合，等於作完減和除的運算)，所以說這部分的組合已經全部找出來了。
未來發展方向：
將來的發展方向不在於往五層以上的字謎發展，因為五層以上的字謎已經不大可能由人來解，所以將來可以發展低層數的，大約二、三層的，而改由有意義的英文字句組合（例如：HE × WAS = HERE），甚至可以由中文的詩句組合（例如：年年×歲歲＝花相似，歲歲／年年＝人／不同，二個式子聯立），或者是四則混合運算的字謎來發展，如此一來，相信猜這些字謎會更加的有趣的。而應用這種方式，我們可以找出很多種字謎來作為大家娛樂及磨練自己思考推理能力之用。也可以自己出謎，利用我們的程式，來驗證看看自己出的字謎是不是有解，可以拿去給同學、朋友動動腦。
參考文獻
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Wackerly & Mendenhall & Scheaffer (1996). Mathematical Statistics with Applications 5th Edition by Wadsworth Publishing Company.
Neapolitan & Naimipour (1996). Foundations of algorithms by D. C. Heath and Company
Horowitz & Sahni (1994). Fundamentals of Data Structures in Pascal 4th Edition by Computer Science Press
Gilbert Strang (1988). Linear Algebra and Its Applications 3rd Edition by Harcourt Brace Jovanovich, Inc.
Stephen Prata (1995). C++ Primer Plus 2nd Edition by
The Waite Group, Inc.
冼鏡光
(1990). : 名題精選百則 技巧篇
- 使用C語言。格致圖書公司。
李維
(民國86年3月)
精通Borland C++ Builder – 視覺化
C/C++ 程式設計<基礎篇>
博碩顧問股份有限公司