一. 摘要

本專題製作題目為【七巧板的分析與研究】。七巧板式由七塊板子所組合而成的一種益智拼圖。設計時,必須要先研究七巧板的分割方式,等到了解分割的方式後,才能設計出新的作品出來。

本組所研究的主要是如何將七巧板分割出不同的形狀,並排列出其他不同的樣式;此外,我們也要證明七巧板它邊與邊的相對關係,還有一些其他的特性,例如七巧板它的凸性……等。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二. 工作分配表

項目

陳家欣

陳冠良

備註

資料搜尋

 

資料分析整理

 

文書排版

 

資料列印

 

實模製作

 

圖形設計創新

 

計劃書製作

 

期中報告製作

 

期末報告製作

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三. 前言

大家都熟悉我國的造紙術、羅盤針、印刷術、火藥等四大發明傳入歐洲,為現代的科技奠下了根基。然而還有一項偉大的發明在十九世紀傳入了歐洲,並廣受歐美人士的喜愛,那就是-七巧板

所謂「七巧板」只是一個以直線切分成七塊的正方形薄片。其中包括了五個三角形、一個正方形和一個平行四邊形,而且這七塊板所有的角度都是45度的倍數。將這七塊稜角尖銳的幾何形拼湊起來,似乎不太可能產生太多的變化,更不可能構成弧形和其他任何具有柔和線條的事物;但是在人類的一雙巧手之下,這簡單的七塊板有構成無限圖象的可能性,我們可以把他排列成魚、鳥、人、獸、宮殿、器具……等各種令人驚異的圖象,而這些具有藝術造型的圖象,則需要我們運用高度的創造力去完成。

七巧板不僅可創造許多具有美感而又有趣的圖形,更具有濃厚的數學及幾何學意味,因此使的許多中外人士對七巧板的推演和變化,投以相當的關注。它一方面可培養我們的圖形創造能力,一方面也可以鍛鍊我們的幾何推理能力,可以說是一種很好的益智遊戲。

七巧板-如果要追究它的起源,該追溯自一千多年前。它是我國古代發明的一種平面造型遊戲。這種平面造型遊戲,只是將七塊板子(五個三種尺寸的三角形、一個正方形、一個平行四邊形)組合成各種不同的圖案而已。乍看之下即使非常簡單,但若沒有用充分利地運用創造力,依然無法排出圖形來。

我國的七巧板也是拼圖板的一種,但是它在本質上與益智拼圖並不相同。七巧板被切割的圖形數目是固定的,而且各自的形狀並沒有改變。它是由七塊基本形狀的板子,拼出各式各樣圖形的一種東西,所以也叫「七塊板」。我國的人稱這種拼圖遊戲為「智慧板」或「七巧板」。

 

 

 

 

 

 

 

 

四. 內容

A.       理論說明

1.凸形七巧板

七巧板有一個很有趣的特性,就是它的凸性。通常從圖形中取其任意兩點,在連接這兩點的線段上的所有點都包含在圖形內時,這個圖形就稱為「凸」。

1942年,浙江大學的數學學者們,證明了凸形的七巧板至多不超過13個。

現在敘述這個證明的摘要,這個證明是以「將幾何學的問題,創造性地翻譯成代數方程式」為基礎。七巧板可以如圖1分成16個大小相等的直角等邊三角形(我們稱為基礎三角形)。現若使直角兩邊的邊長為1(有理數),那麼直角的對邊就是(無理數)。因此,便稱各個夾基礎三角形之直角的兩邊為有理邊,稱斜邊(直角的對邊)為無理邊。

    於是,他們就以下述方法進行求證。亦即當16個基礎三角形組合成一個凸多角形時,無論加上幾個有理數,都不能成為無理數,所以有理邊決不會接到無理邊。因而,可以了解到多角形周圍的各邊(有理邊或是無理邊)是由同類的邊所組合而成的。於是由有理連組成的多角形之各邊就是有理的(同樣地,其它情形是無理的)。那麼,緊鄰的兩邊,其交角是直角的情形時就變成全都是有理的,或是全都是無理的。但是,當這個交角是45度(銳角)或135度(鈍角)的情形時,兩個邊的組合就各不相同了。因此現在設這個多角形是n角形,並且有 p個角是銳角,q個角是直角,r個角是鈍角;於是:

pqrn………1

因此,持有幾個邊的凸多角形的內角總和,由所謂相等於(n2×180度的凸多角形的簡單性質,可以產生下面的式子:

p×45q×90r×135=(n2×180………2

從(1)與(2)消去r變成

2pq8n………3

在這式子中,因為 p q p>= 0 q>=0的整數,所以8n>=0,亦即8>=n。因此可以得到多角形最大可有八邊的結論。欲求出滿足(1)、(3)的 pqr時,可以得到如下述10種情形。即八個鈍角的八邊形;一個直角和六個鈍角的七邊形;兩個直角和由四個鈍角的六邊形;或是一個銳角和五個鈍角的六邊形;三個直角和兩個鈍角的五邊形;或是一個直角、一個銳角和三個鈍角的五邊形;四個直角的四邊形(長方形);或是兩個銳角和兩個鈍角(平行四邊形與菱形)的四邊形;或是-個銳角、兩個直角和-個鈍角的四邊形;兩個銳角和一個直角的三邊形(三角形)。而且不管那一種情形,這些多角形在長方形(PQRS)之中,例如七邊形的多角形(ABCDEFHA)如圖2所示,把有理邊畫在長方形的邊上。

 

如果 PQ邊與PS邊各自擁有基礎三角形之一邊(有理邊)的x倍長與y倍的長,那麼長方形就擁有2xy個的基礎三角形的面積。凸多角形的無理邊(HABCDEFG)如果由基礎三角形的無理邊abcd倍的長度(abcd有時也有變成0的情形)時,圖中之三角形PAHBQCDREFSH各自擁有基礎三角形之a 2b 2c 2d 2倍的面積。另外,凸多角形因為擁有16個基礎三角形的面積,所以變成:

a 2b2c2d2 2 xy16………4

這裡abcdxy必須滿足下述條件: 

ab<=xcd<=xad<= ybc<= y

在這個必要條件下,將(4)式的解全部求出,便可決定凸多角形的個數。浙江大學的數學學者們解出xy的可能值,證明了20種的凸多角形正好是由16個基礎三角形所組合而成的。而且事實上憑藉七巧板,知道其中的13個的確是可以組合出的(圖3)。

2.格點七巧圖

    以平面的某一點為原點,作出互相垂直於此點的x軸與 y軸,形成座標系時,其x座標與y座標的所有整數的交點稱為格點。

如果由空中俯瞰,可以看到格點如同棋子般的整整齊齊安置在棋盤格上。當我們旋轉七巧板圖形,或是平行移動它時,七塊板子的所有頂點都和格點重疊,這就稱做格點七巧圖。

各個格點七巧圖加上若干基礎三角形可以作成一個凸多角形。使格點七巧圖作成凸多角形而必須的基礎三角形的最小數,稱為這個七巧圖的「凸數」。而這個凸多角形就是原來七巧圖的「凸包」(圖4)。

    例如,凸的七巧圖的凸數是0,則凸就是其本身。假如一個由17個基礎三角形構成的凸多角形中,比原來十六個基礙三角形的七巧圖多一個,因此這個凸多邊形的凸數是1。由此可知凸數0以及1的所有格點七巧圖的概念了。我們稱這些為凸七巧圖以及1凸七巧圖。為了找出全部的1凸七巧圖,可以採用和上述的凸七巧圖的情形完全相同的方法;也就是把凸七巧圖所需使用的16個基本三角形增加為17個。

16這個數目變成n16時,通常便可以相同的方法,決定所有的n凸七巧圖,採用16個基礎三角形相同的計算方法,可以明白由17個基礎三角形構成的9個凸多角形是存在的。1凸七巧圖的個數,可以推演計算得出來。本質上, 1凸七巧圖的數目比凸七巧固均數目多,有133個。

2凸七巧因(可以由18個基礎三角形作出17個凸多角形)的個數甚夥,數目在1凸七巧圖之上。

本質上,3凸七巧圖的個數,比2凸七巧圖多;4凸七巧圖比3凸七巧圖多。由此可知七巧圖的個數隨著其凸數的增加越來越多,但也因此而使七巧因的圖案紛亂無章,毫無越味。所以在這兒必須更進一步地對七巧圖加以若干限制。

當七巧圖上的所有的2點都是相互連結時,這種七巧圖就稱為是連結七巧圖。從直覺上我們會覺得它就是這樣,可是讓我們來想想看,連結的格點七巧圖的凸數是否有限?還有,以下暫且將基礎三角形的有理邊與無理邊簡稱為基本邊。

由基本邊延長相連的線稱作連邊。連結七巧圖通常有一個限度。那就是說,所有的基本邊都在由七巧圖的16個基礎三角形的基本連所構成的連邊內。

七巧圖的連邊和凸包的連邊有的完全一致,有的不一致。不一致的情形時,七巧圖的連邊完全在凸包的連邊上或它的內側,由圖3我們可以看出七巧圖的連邊所形成的兩個夾角沒有構成45度或90度角的情形。因為如果不是那樣的話,則會更小的凸包存在。再者,以同樣的道理,可以明白在一條連邊上,135度角是不會出現1次以上。

因此這個凸包上的連邊是一條線段或是其間擁有135度角的兩條線段。不管是那一種,這個連邊是連接某個起點與終點的最短線段。由此可知,連接此兩點的七巧圖的基本邊與凸包之連邊同數,或由更多的基本邊所構成。

另外,這個情形也適用於七巧圖的所有連邊。因此凸包的連邊是與七巧圖的連邊同數,或由更少的基本邊所構成。

另一方面,七巧板的連邊,其最大限是擁有18個基本邊。理由是七巧圖的七塊圖形,全體擁有30個的基本邊,可是其中的2×6個是為了互相連接而使用的,所以不出現在邊界上,因此301218是為最大限。

亦即結論是:連結方格七巧板的凸包的連邊,最多由18個基本邊所構成。於是,尋求連結格點七巧圖的凸數極限的問題,變成「由18個基本邊構成的凸多角形之最大面積是多少?」的問題。(連邊小的話,最大面積也小)。

在此再度試將擁有由18個基本邊構成連邊的七巧圖之凸包,記入之前的長方形PQRS上。而且和前面一樣,設定abcd是無理邊的個數。因為有理邊和長方形的邊界重疊,所以長方形的周長是:

2xy)=18+(abcd………5

凸多角形的面積就變成

2xy-(a2b2c2d2………6

個的基礎三角形的面積。在這裡無理基本邊的個數abcd是在被提供的情況下(因此明白了abcd之意義),當abcd儘可能是彼此相近的數目時,a2b2c2d2,就變成最小的。另外,若xy的差是可能範圍中最小時,xy就變成最大。

從(5)、(6),可以針對各種數目的無理基本邊,簡單地計算出最大面積。另外,可以明白這個最大面積是隨無理邊的數目而同時變大。而且以abcd18xy9ab4,且cd5時,面積為最大,變成2 ×8II 6 I 6252580個基礎三角形的面積。

除了有嚴格的界限外,七巧圖的連邊中最多擁有10個無理基本邊。有的凸包比七巧板擁有更多的無理基本邊;不過在那種情形下,凸包每多一個無理邊,有理邊就減少兩個。即基本邊的合計數變小,所以最後面積也減小。

因此凸包連邊的無理邊數目最多是10個。所形成的最大面積,可以導出是由72個基礎三角形所構成的。(連邊界是由10個無理基本邊和10個有理基本邊構成的)。

根據上述的算法,連結的格點七巧圖之凸數,最多是72I 656個。但是,這個界限在七巧板圖形中是不可能實現的。至今為止,最接近這個數目的,是圖540凸七巧圖。

 

 

 

3.分割可能的七巧板

連結的格點七巧圖之個數非常多,為了獲得數目大小之某種程度的印象,我們換個角度來研究能滿足如下之另一個重要的分割可能條件的七巧圖。也就是說可以分割成2個彼此相同圖形的七巧圖,這種稱之為分割可能七巧圖。分割可能之連結格點七巧圖,是由兩個圖形相同之半個的七巧圖所組合而成。

像這樣的孿生七巧圖有65個。圖6展示了其中一部分的圖形。因為兩個相同的半個七巧圖可以由各式各樣、很多的連結方法組合成一個七巧圖;所以只要一改變連結方法,就能製造成數千分割可能的連結格點七巧圖。

B.實作說明

首先將基礎三角形畫出(圖7),之後將它分割成七塊板子,並把它分割出所有可能的切割形式,而且分割出來的形狀必須符合之前所提出的理論,也就是有理邊必須和有理邊相連結,無理邊必須和無理邊相結合。以下就是我們所分割出來的七巧板。

 

         

 

 

在分割的過程中,所分割出來的圖形必須是三角形正方形菱形梯形平行四邊形等有規則的圖形,這樣所才能符合在理論說明內理論。現在我們將針對我們所分割出來的七巧板來排列出各種不同的圖樣。我們將在下頁展示我們所排列出來的圖樣。

在模型製作上,我們將利用木材來完成我們的成品。首先將所要鋸的圖形畫出來(圖8)。在製作上必須注意鋸條的選擇、鋸工件時的出力是否適當,因為這都會影響工件的表面,鋸完後,必須用砂紙將工件表面磨光,把粗糙的地方磨掉,磨光後,在工件表面塗上亮光漆,這樣可使工件看起來更光滑明亮,而且還可以防止蛀蟲。或者在每一個工件上塗不同的顏色,這樣看起來會覺得色彩比較豐富,不會感到單調,而且這樣也能引發想要玩的興趣。在每一個製作程序上都是一門學問,所以要有所注意才行。

8

圖形展示(一)

 


 

圖形展示(二)

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

圖形展示(三)

 

 


 

圖形展示(四)

 

 


         

圖形展示(五)

 

 


圖形展示(六)

 

 


      

 

圖形展示(七)

 

      

 

 

 

 

圖形展示(八)

 


      

       

      

 

 

圖形展示(九)

 


             

 

  

圖形展示(十)

 


          

 

 

 

 

 

 

 

圖形展示(十一)

 


       

     

圖形展示(十二)

 


   

圖形展示(十三)

 


    

 

   

圖形展示(十四)

 


 

 

圖形展示(十五)

 


 

    

圖形展示(十六)

 


 

 

 

圖形展示(十七)

 


     

圖形分類

(一)幾何形狀

  

 

(二)動物

 

(三)人物

(四)植物

         

 

(五)符號

     

 

(六)器皿

                    

 

(七)其它

    

 

我們的作品除了前面所展示的圖形以外,還有一個Java的程式,不過那不是我們所寫出來的,那是在網路上找到的,所以把它拿來當作參考用,在此作一說明。

 9

其介面如圖9所示,使用方法:用IE4.0(或5.0)來開啟tangram.htm這個檔案→按一下瀏覽器上之圖示→進入遊戲。此外,按住滑鼠右鍵即可讓板子旋轉一個角度,每次旋轉角度是45度,其中共有19個圖案提供排列。

因為在網路下載的檔案為class檔,並非Java檔,所以並無法檢視其原始碼,而且我們也找過陳茂盛老師詢問過,老師說那些Java的原始碼可能是人家的機密,所以無法在網路上公開,對此一點實感抱歉,無法讓每個人有所了解。

在網路下載的檔案分別為ControlPanel.classstrip.gifDrawPanel.classImageButton.classShowPanel.classTangram.classTangramFrame.classtangram.giftangram.htm9個檔案,那麼在這9個檔案之中,我們唯一能了解的只有html格式的寫法,那麼我們現在就做概要的介紹。以下就是tangram.htm的原始碼。

1.<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//IETF//DTD HTML//EN">

2.<html>

3.<head>

4.<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html" charset="x-x-big5" ;>

5.<meta name="Description" content="Interactive applet-version of the Tangram puzzle">

6.<meta name="Keywords" content="tangram, java, applet, games, puzzles, interactive">

7.<title>Applet showroom - tangram</title>

8.</head>

9.<body background="../../effect/292.gif" link="#008080" vlink="#008080" topmargin="75">

10.<spacer type="vertical" size="75">

11.<center>

12.<applet xcodbase=Tangram code="Tangram.class" width="198" height="198">

13.<param name="field" value="008080">

14.<param name="lang" value="E">

15.<param name="piece" value="FFFFFF">

16.<param name="rows" value="2">

17.Interactive applet-version of the Tangram puzzle</applet>

18.</center>

19.</body>

20.</html>

23811181920行是html格式的開頭和結尾的寫法,每個html格式都必須以照這模式來寫,否則就可能無法執行;第517行是宣告說如果所使用的瀏覽器不支援時,所出現的訊息;第7行是設定Title Bar的標題為Tangram;第13141516行是參數的設定;第12行是設定對話框的長度和寬度。或者參考圖10也可以知道一些詳細的設定和寫法。

 

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五. 結論

在這次專題製作中,我們發現「七巧板」是中華民族最博大精深的遊戲,它內藏的涵意並不是一時之間所能了解的,必須花長時間的深入研究,才能了解其中之奧妙,由於這次專題的製作時間只有四個月,加上學校的課業,這次的專題並不能做很深入的探討,不過在這一段時間,也學到了不少,如:資料的搜尋,七巧板的設計、證明、排列………等等,而且不光是如此而已,在排列新的圖形的時候,不禁越排越覺得佩服當初發明七巧版的人,也深深的體會到以前的人居然可以創造出那麼多的圖形和排法,實在令人佩服!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

六. 心得

也許在這一學期所做的專題並不是非常深入,而且七巧版雖然只是七塊版子而已但是卻蘊藏著許多的學問,也許有些人看到了七巧版會說:「哈~祇不過是七塊版子而已,有那麼難嗎?隨便拼拼湊湊也可以拼出圖形來啊!」,這也許是他們單純的想法而已,這也許也是我們當初未深入接觸七巧版的想法,但是到了現在,我們已經了解到七巧版是一項很有學問的遊戲,可以徹底的活用我們的腦筋。不過,經過了一學期的研究後,總覺得我們所了解的只不過是略懂皮毛而已,不能說是十分透徹,但若說真的要完全洞悉它的學問的話,恐怕不是短時間內可做到的事喔 ! 不過我們也盡了不少心力去研究了,做的好或是不好那都是次要的,最主要的是學到這一次的經驗,能把它用在往後的學習這才是最重要的。在這裡也要感謝老師的幫忙,讓我們學到以前都未接觸過的新事物,也謝謝那些協助我們的同學。

 

 

 

 

七. 參考資料

參考網址:

http://www.nt1.isst.edu.tw/lecture/國中網頁 /data/22/24/seven.html#一、七巧板的介紹

http://ccmp.tacomall.com.tw/bookint/b224.html

http://www.shwps.ptc.edu.tw/country/tool/tool02.htm

http://mathsup.math.ntnu.edu.tw/geocon/88丙侯杰材 /02/index.htm

http://nerc.khgs.tn.edu.tw/nerc1/info-4.htm

http://www.nhps.tp.edu.tw/happy/game.htm

http://nerc.khgs.tn.edu.tw/nerc1/game-4.htm#七巧板拼圖

 

參考書籍:

書名

作者

出版書局

平面造型遊戲之王-七巧板

王香完

益群書局

司法七巧板

黃越宏

月旦出版

清玩七巧板

錢芸吉

東方文化

數學遊戲大觀(上卷)

陳懷書

臺灣商務印書館

數學遊戲大觀(下卷)

陳懷書

臺灣商務印書館

八. 自我介紹

姓名:陳冠良

綽號:罐頭

生日:70.5.21

星座:金牛座

個性:樂觀 開朗

興趣:上網 看電視 散步

經歷:兩任總務股長

最喜歡的食物:只要好吃就可以了

最想完成的事:考上理想二技

 


姓名:陳家欣

綽號:ㄚ欣

生日:70.7.11

星座:巨蟹座

個性:內向 害羞

興趣:上網 看電視 玩電腦 打球 看小說

經歷:副班長、服務股長

最想完成的事:考上理想二技

 

九. 使用軟體

1.Microsoft Windows 98 SE 中文版

2.IE 5.0中文版

3.AutoCad R14中文版

4.PhotoImpac 5.0中文版

5.Microsoft Office 2000 Premium中文版

6.Winzip 8.0中文版